Model Standardowy: Techniczne wprowadzenie do naszego obecnego zrozumienia wszechświata

Na najwyższym poziomie abstrakcji nasza wiedza o fizycznym wszechświecie może zostać skompresowana do pojedynczego wyrażenia symbolicznego. Zapisane w języku całek ścieżkowych, brzmi ono:

$$
W = \int_{k<\Lambda} [Dg][DA][D\psi][D\Phi] \,
\exp \left\{ i \int d^4x \, \sqrt{-g} \,
\Bigg[
\frac{m_p^2}{2} R
- \tfrac{1}{4} F^a_{\mu\nu} F^{a\mu\nu}
+ i \bar{\psi}^i \gamma^\mu D_\mu \psi^i
+ \big(\bar{\psi}_L^i V_{ij} \Phi \psi_R^j + h.c.\big)
- |D_\mu \Phi|^2 - V(\Phi)
\Bigg] \right\}.
$$

To wyrażenie, gęste i kompaktowe, jest formą całki ścieżkowej Modelu Standardowego plus grawitacja. Łączy mechanikę kwantową, czasoprzestrzeń, materię, siły i generowanie masy w jedną strukturę. Rozłóżmy je na części.

1. Mechanika kwantowa: Całka ścieżkowa

Czynnik wstępny

W = ∫[Dg][DA][Dψ][DΦ] e^(iS)

to funkcjonał generujący teorii pola kwantowego.
Stwierdza, że aby obliczyć dowolny proces, należy zsumować wszystkie możliwe konfiguracje pól: geometrie g, pola cechowania A, pola fermionowe ψ oraz pole Higgsa Φ. Każda konfiguracja wnosi wkład z wagą e^(iS), gdzie S to akcja.

To esencja mechaniki kwantowej rozszerzonej na pola: rzeczywistość to wzór interferencji wszystkich możliwych historii.

2. Czasoprzestrzeń i grawitacja

Składnik

$$
\frac{m_p^2}{2} R
$$

reprezentuje akcję Einsteina-Hilberta, gdzie R to skalarna krzywizna Ricciego, a m_(p) to zredukowana masa Plancka.
Koduje on ogólną teorię względności: czasoprzestrzeń jest dynamiczna, zakrzywiana przez obecność energii i pędu.

Chociaż kwantowa spójność grawitacji wciąż pozostaje nierozwiązana, włączenie tego składnika wyraża naszą najlepszą efektywną teorię czasoprzestrzeni.

3. Pola cechowania: Pozostałe siły

$$
-\tfrac{1}{4} F^a_{\mu\nu} F^{a\mu\nu}
$$

Ten zwarty składnik koduje dynamikę pól cechowania: gluonów (siła silna), bozonów W i Z (siła słaba) oraz fotonu (elektromagnetyzm). Symbol F_(μν)^(a) uogólnia tensor pola elektromagnetycznego na nieabelowe pola Yanga-Millsa.

Z tej pojedynczej struktury można wyprowadzić równania Maxwella w granicy abelowej, jak również cały aparat kwantowej chromodynamiki (QCD) oraz teorii elektrosłabej.

4. Pola materii

iψ̄^(i)γ^(μ)D_(μ)ψ^(i)

To akcja Diraca dla fermionów: kwarków i leptonów. Indeks i obejmuje trzy generacje.
Pochodna kowariantna D_(μ) sprzęga pola materii z polami cechowania, zapewniając spójność z symetriami Modelu Standardowego.

To matematyczne stwierdzenie, jak cząstki materii rozchodzą się i oddziałują z siłami.

5. Sprzężenia Yukawy

ψ̄_(L)^(i)V_(ij)Φψ_(R)^(j) + h.c.

Te składniki opisują oddziaływania Yukawy: sprzężenia fermionów z polem Higgsa Φ.
Gdy pole Higgsa uzyskuje wartość oczekiwaną w próżni, te oddziaływania przekładają się na masy fermionów.

Współczynniki V_(ij) kodują strukturę mieszania smaków (np. macierz CKM dla kwarków).

6. Sektor Higgsa

 − |D_(μ)Φ|² − V(Φ)

Tutaj znajduje się samo pole Higgsa.
Składnik kinetyczny |D_(μ)Φ|² sprzęga je z bozonami cechowania, podczas gdy potencjał

V(Φ) = μ²Φ^(†)Φ + λ(Φ^(†)Φ)²

napędza spontaniczną symetrię łamania.
To łamie SU(2)_(L) × U(1)_(Y) → U(1)_(em), nadając masę bozonom W i Z, pozostawiając foton bezmasowy.

Odkrycie bozonu Higgsa w CERN w 2012 roku potwierdziło ten schemat.

7. Zunifikowane stwierdzenie

W połączeniu ta akcja wyraża:

-   Mechanikę kwantową poprzez całkę ścieżkową.
-   Czasoprzestrzeń i grawitację poprzez składnik Einsteina-Hilberta.
-   Oddziaływania cechowania (silne, słabe, elektromagnetyczne).
-   Pola materii (kwarki i leptony).
-   Generowanie masy poprzez mechanizm Higgsa i sprzężenia Yukawy.

Nie jest to ostateczna „teoria wszystkiego” — pomija ciemną materię, ciemną energię i pełną kwantową teorię grawitacji — ale jest to najpełniejszy opis rzeczywistości, jaki ludzkość dotychczas osiągnęła.

Wniosek

Jeśli inna inteligencja zapytałaby o nasz opis praw natury, przedstawilibyśmy to równanie.

Nie jest to poezja, a jednak niesie głębokie piękno: pojedyncze wyrażenie kodujące dynamikę przestrzeni, czasu, materii i oddziaływań.

To nasze obecne zrozumienie wszechświata, skondensowane w matematyce.