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Auf der höchsten Abstraktionsebene kann unser Wissen über das physikalische Universum in einen einzigen symbolischen Ausdruck komprimiert werden. In der Sprache der Pfadintegrale lautet er:
\[ W = \int_{k<\Lambda} [Dg][DA][D\psi][D\Phi] \, \exp \left\{ i \int d^4x \, \sqrt{-g} \, \Bigg[ \frac{m_p^2}{2} R - \tfrac{1}{4} F^a_{\mu\nu} F^{a\mu\nu} + i \bar{\psi}^i \gamma^\mu D_\mu \psi^i + \big(\bar{\psi}_L^i V_{ij} \Phi \psi_R^j + h.c.\big) - |D_\mu \Phi|^2 - V(\Phi) \Bigg] \right\}. \]
Dieser dichte und kompakte Ausdruck ist die Pfadintegralform des Standardmodells plus Gravitation. Er vereint Quantenmechanik, Raumzeit, Materie, Kräfte und Massenerzeugung in einem einzigen Rahmen. Lassen Sie uns ihn Schritt für Schritt zerlegen.
Der Vorfaktor
\[ W = \int [Dg][DA][D\psi][D\Phi] \; e^{iS} \]
ist der generierende Funktional der Quantenfeldtheorie.
Er besagt, dass man zur Berechnung eines Prozesses über alle möglichen Feldkonfigurationen summieren muss: Geometrien \(g\), Eichfelder \(A\), Fermionfelder \(\psi\) und das Higgs-Feld \(\Phi\). Jede Konfiguration trägt mit einem Gewicht \(e^{iS}\) bei, wobei \(S\) die Wirkung ist.
Dies ist die Essenz der Quantenmechanik, erweitert auf Felder: Die Realität ist das Interferenzmuster aller möglichen Geschichten.
Der Term
\[ \frac{m_p^2}{2} R \]
repräsentiert die Einstein-Hilbert-Wirkung, wobei \(R\) die Ricci-Skalar-Krümmung und \(m_p\) die reduzierte Planck-Masse ist.
Er kodiert die allgemeine Relativitätstheorie: Die Raumzeit ist dynamisch und wird durch die Anwesenheit von Energie und Impuls gekrümmt.
Obwohl die quantenmechanische Konsistenz der Gravitation noch ungelöst ist, drückt die Einbeziehung dieses Terms unsere beste effektive Theorie der Raumzeit aus.
\[ -\tfrac{1}{4} F^a_{\mu\nu} F^{a\mu\nu} \]
Dieser kompakte Term kodiert die Dynamik der Eichfelder: Gluonen (starke Kraft), W- und Z-Bosonen (schwache Kraft) und das Photon (Elektromagnetismus). Das Symbol \(F^a_{\mu\nu}\) verallgemeinert den elektromagnetischen Feldtensor auf nicht-abelsche Yang-Mills-Felder.
Aus dieser einzigen Struktur lassen sich die Maxwell-Gleichungen im abelschen Grenzfall sowie die gesamte Maschinerie der Quantenchromodynamik (QCD) und der elektroschwachen Theorie ableiten.
\[ i \bar{\psi}^i \gamma^\mu D_\mu \psi^i \]
Dies ist die Dirac-Wirkung für Fermionen: Quarks und Leptonen. Der Index \(i\) läuft über drei Generationen.
Die kovariante Ableitung \(D_\mu\) koppelt Materiefelder an Eichfelder und gewährleistet die Konsistenz mit den Symmetrien des Standardmodells.
Dies ist die mathematische Aussage, wie Materieteilchen sich ausbreiten und mit Kräften interagieren.
\[ \bar{\psi}_L^i V_{ij} \Phi \psi_R^j + h.c. \]
Diese Terme beschreiben die Yukawa-Wechselwirkungen: die Kopplungen von Fermionen an das Higgs-Feld \(\Phi\).
Sobald das Higgs-Feld einen Vakuum-Erwartungswert erhält, übersetzen sich diese Wechselwirkungen in Fermionenmassen.
Die Koeffizienten \(V_{ij}\) kodieren die Struktur der Flavour-Mischung (z. B. die CKM-Matrix für Quarks).
\[ - |D_\mu \Phi|^2 - V(\Phi) \]
Hier liegt das Higgs-Feld selbst.
Der kinetische Term \(|D_\mu \Phi|^2\) koppelt es an Eichbosonen, während das Potential
\[ V(\Phi) = \mu^2 \Phi^\dagger \Phi + \lambda (\Phi^\dagger \Phi)^2 \]
die spontane Symmetriebrechung antreibt.
Dies bricht \(SU(2)_L \times U(1)_Y \to U(1)_{em}\), gibt den W- und Z-Bosonen Masse, während das Photon masselos bleibt.
Die Entdeckung des Higgs-Bosons am CERN im Jahr 2012 bestätigte diesen Rahmen.
Zusammengenommen drückt diese Wirkung Folgendes aus:
Es ist nicht die ultimative „Theorie von Allem“ — sie lässt Dunkle Materie, Dunkle Energie und eine vollständige Quantentheorie der Gravitation aus —, aber es ist die umfassendste Beschreibung der Realität, die die Menschheit bisher erreicht hat.
Wenn eine andere Intelligenz nach unserem Bericht über die Naturgesetze fragen würde, würden wir diese Gleichung vorlegen.
Sie ist keine Poesie, doch sie trägt eine tiefe Schönheit: ein einziger Ausdruck, der die Dynamik von Raum, Zeit, Materie und Wechselwirkungen kodiert.
Dies ist unser aktuelles Verständnis des Universums, verdichtet in Mathematik.