https://ninkilim.com/articles/equation_of_everything/fr.html
Au plus haut niveau d’abstraction, notre connaissance de l’univers physique peut être condensée en une seule expression symbolique. Écrite dans le langage des intégrales de chemin, elle se lit :
\[ W = \int_{k<\Lambda} [Dg][DA][D\psi][D\Phi] \, \exp \left\{ i \int d^4x \, \sqrt{-g} \, \Bigg[ \frac{m_p^2}{2} R - \tfrac{1}{4} F^a_{\mu\nu} F^{a\mu\nu} + i \bar{\psi}^i \gamma^\mu D_\mu \psi^i + \big(\bar{\psi}_L^i V_{ij} \Phi \psi_R^j + h.c.\big) - |D_\mu \Phi|^2 - V(\Phi) \Bigg] \right\}. \]
Cette expression, dense et compacte, est la forme d’intégrale de chemin du Modèle Standard plus la gravitation. Elle unifie la mécanique quantique, l’espace-temps, la matière, les forces et la génération de masse dans un cadre unique. Décomposons-la partie par partie.
Le préfacteur
\[ W = \int [Dg][DA][D\psi][D\Phi] \; e^{iS} \]
est le fonctionnel générateur de la théorie quantique des champs.
Il stipule que pour calculer tout processus, il faut sommer sur toutes les configurations possibles des champs : géométries \(g\), champs de jauge \(A\), champs fermioniques \(\psi\) et le champ de Higgs \(\Phi\). Chaque configuration contribue avec un poids \(e^{iS}\), où \(S\) est l’action.
C’est l’essence de la mécanique quantique étendue aux champs : la réalité est le motif d’interférence de toutes les histoires possibles.
Le terme
\[ \frac{m_p^2}{2} R \]
représente l’action d’Einstein-Hilbert, où \(R\) est la courbure scalaire de Ricci et \(m_p\) est la masse de Planck réduite.
Il encode la relativité générale : l’espace-temps est dynamique, courbé par la présence d’énergie et de moment.
Bien que la cohérence quantique de la gravitation reste non résolue, l’inclusion de ce terme exprime notre meilleure théorie effective de l’espace-temps.
\[ -\tfrac{1}{4} F^a_{\mu\nu} F^{a\mu\nu} \]
Ce terme compact encode la dynamique des champs de jauge : gluons (force forte), bosons W et Z (force faible) et le photon (électromagnétisme). Le symbole \(F^a_{\mu\nu}\) généralise le tenseur de champ électromagnétique aux champs de Yang-Mills non abéliens.
À partir de cette seule structure, on peut dériver les équations de Maxwell dans la limite abélienne, ainsi que toute la machinerie de la chromodynamique quantique (QCD) et de la théorie électrofaible.
\[ i \bar{\psi}^i \gamma^\mu D_\mu \psi^i \]
C’est l’action de Dirac pour les fermions : quarks et leptons. L’indice \(i\) parcourt trois générations.
La dérivée covariante \(D_\mu\) couple les champs de matière aux champs de jauge, assurant la cohérence avec les symétries du Modèle Standard.
C’est l’énoncé mathématique de la manière dont les particules de matière se propagent et interagissent avec les forces.
\[ \bar{\psi}_L^i V_{ij} \Phi \psi_R^j + h.c. \]
Ces termes décrivent les interactions de Yukawa : les couplages des fermions au champ de Higgs \(\Phi\).
Une fois que le champ de Higgs acquiert une valeur d’attente dans le vide, ces interactions se traduisent en masses des fermions.
Les coefficients \(V_{ij}\) encodent la structure du mélange des saveurs (par exemple, la matrice CKM pour les quarks).
\[ - |D_\mu \Phi|^2 - V(\Phi) \]
Ici réside le champ de Higgs lui-même.
Le terme cinétique \(|D_\mu \Phi|^2\) le couple aux bosons de jauge, tandis que le potentiel
\[ V(\Phi) = \mu^2 \Phi^\dagger \Phi + \lambda (\Phi^\dagger \Phi)^2 \]
entraîne la rupture spontanée de symétrie.
Cela brise \(SU(2)_L \times U(1)_Y \to U(1)_{em}\), donnant une masse aux bosons W et Z tout en laissant le photon sans masse.
La découverte du boson de Higgs au CERN en 2012 a confirmé ce cadre.
Pris ensemble, cette action exprime :
Ce n’est pas la “théorie de tout” ultime — elle omet la matière noire, l’énergie noire et une théorie quantique complète de la gravitation —, mais c’est la description la plus complète de la réalité que l’humanité ait jamais atteinte.
Si une autre intelligence demandait notre compte rendu des lois de la nature, nous présenterions cette équation.
Ce n’est pas de la poésie, mais elle porte une beauté profonde : une seule expression encodant la dynamique de l’espace, du temps, de la matière et des interactions.
C’est notre compréhension actuelle de l’univers, condensée en mathématiques.